Mathematische Grundlagen
Polynom
Polynome kennen Sie aus der Schule, zum Beispiel als Gleichungen für eine Gerade oder für eine Parabel, also als Funktionen, die für einen x-Wert einen Funktionswert y ergeben.
Definition: Sei K ein Körper. Eine Abbildung p : K → K mit
p(x) = an-1·xn-1 + ... + a0·x0
für alle x ∈ K, wobei n ∈ ℕ, ai ∈ K, heißt Polynom über K.1)
Die Zahlen ai heißen Koeffizienten von p. Sind alle Koeffizienten Null, d.h. gilt ai = 0 für alle i ∈ ℕ0, so heißt das Polynom p das Nullpolynom.
Häufig werden Polynome auch als rein formale Objekte verwendet, also nicht als Funktionen, deren Funktionswert von Interesse ist. Im Grunde ist dann nur der Vektor [a0 ... an-1] der Koeffizienten des Polynoms von Interesse. Die Darstellung dieses Koeffizientenvektors als Polynom ist jedoch hilfreich, um eine Multiplikation von Vektoren zu definieren.
Schreibweise: Wie die Darstellung als Koeffizientenvektor nahelegt, werden Polynome auch manchmal mit der niedrigsten Potenz von x zuerst geschrieben:
p(x) = a0·x0 + ... + an-1·xn-1
Der Grad des Polynoms p ist die höchste in p vorkommende Potenz von x, d.h. es ist
| grad(p) = |  |
|
Die Menge der Polynome über K wird als K[x] bezeichnet.
Beispiel: Betrachten Sie folgende Polynome über ℝ (d.h. es ist K = ℝ, der Körper der reellen Zahlen):
p1 = 1.5x3 – 0.67x2 + x + 6
p2 = x4 + x2 + 1
p3 = 0x5 + 0x4 + 0x3 – 12x2 – 0.5x + 4
p4 = 3
p5 = 0
Das Polynom p1 hat die Koeffizienten 1.5, -0.67, 1 und 6; der Grad von p1 ist 3, weil x3 die höchste Potenz in p1 ist.
In p2 sind die Koeffizienten von x3 und x gleich Null.
Der Grad von p3 ist 2, weil die Koeffizienten der höheren Potenzen von x gleich Null sind.
Jedes Element a des Körpers lässt sich als Polynom ax0 auffassen, hier p4 = 3x0.
p5 ist das Nullpolynom.
Die Menge der Polynome K[x] ist ein Ring, d.h. eine Struktur, in der Sie addieren, subtrahieren und multiplizieren können (z.B. ist die Menge ℤ der ganzen Zahlen auch ein Ring). Die Rechenoperationen in K[x] gehen aus den Rechenregeln des Körpers K hervor 2).
Anders als in einem Körper können Sie in einem Ring nicht dividieren, sondern es gibt (wie in ℤ) nur eine Division mit Rest.
Satz: Sind f und g Polynome, g ≠ 0, dann gibt es eine eindeutige Darstellung
f = q · g + r mit grad(r) < grad(g)
Hierbei ist das Polynom r der Rest bei Division von f durch g und das Polynom q ist der Quotient.
Beispiel: Seien f = 6x3 + 7x2 + 6x + 4 und g = 2x2 + x + 1. Dann erhalten Sie bei Division von f durch g den Quotienten q = 3x + 2 und den Rest r = x + 2.
Anwendungen
In der Codierungstheorie spielen Polynome über dem Körper K = ℤ2 eine bedeutende Rolle, zum Beispiel beim CRC-Verfahren.
In der Kryptografie werden Polynome über endlichen Körpern ℤp oder 𝔽2m verwendet.
1) Statt Polynomen über einem Körper kann man auch Polynome über einem Ring betrachten.
2) K[x] ist sogar ein spezieller Ring, ein sogenannter Integritätsbereich.
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Created: 10.03.1997 Updated: 31.03.2026
Diese Webseiten sind größtenteils während meiner Lehrtätigkeit an der Hochschule Flensburg entstanden