Ein Körper (engl.: field) ist grob gesagt eine Menge von Elementen, mit denen Sie in gewohnter Weise rechnen können – wie mit den reellen Zahlen. Sie können also Elemente des Körpers addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren (außer durch 0).
Dies ist gewährleistet, wenn die im Folgenden angegebenen Körperaxiome gelten.
Definition: Sei K eine Menge mit den Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation). Eine Verknüpfung ist eine Abbildung K × K → K.
Die Axiome 1-4 besagen, dass (K, +, 0), also die Menge K mit der Verknüpfung + und neutralem Element 0, eine abelsche (d.h. kommutative) Gruppe darstellt.
Die Axiome 5-8 besagen, dass (K \ {0}, ·, 1), also die Menge K \ {0} mit der Verknüpfung · und neutralem Element 1, eine abelsche Gruppe darstellt.
Die beiden Verknüpfungen + und · hängen über das Distributivgesetz (Axiom 9) zusammen.
Wenn die Menge K eine endliche Menge ist, so ist K ein endlicher Körper. Die einzigen endlichen Körper bestehen jeweils aus pm Elementen, mit p Primzahl und m ∈ ℕ.
Der einfachste endliche Körper ist die Menge ℤ2 = {0, 1} mit den Verknüpfungen +2 (Addition modulo 2) und ·2 (Multiplikation modulo 2).
Satz: Wenn p eine Primzahl ist, so ist die Menge ℤp = {0, ..., p-1} mit den Verknüpfungen +p (Addition modulo p) und ·p (Multiplikation modulo p) ein Körper. Die 0 ist das neutrale Element der Addition, die 1 ist das neutrale Element der Multiplikation.
Bemerkung: Statt ℤp ist auch die Bezeichnung 𝔽p üblich, die auf die Struktur des Körpers (field) hinweist.
Aufgabe 1:
Sei p = 7. Bestimmen Sie im Körper 𝔽7 für jedes Element jeweils das additiv inverse sowie das multiplikativ inverse Element:
| a | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| -a | 5 | ||||||
| a-1 | – | 4 |
Das additiv inverse Element beispielsweise zu 2 ist 5, denn 2 +7 5 = 0, und das multiplikativ inverse Element zu 2 ist 4, denn 2 ·7 4 = 1.
Satz: Jeder endliche Körper mit p Elementen (p Primzahl) ist zu dem Körper 𝔽p isomorph.
Sie haben einen Körper mit den Elementen {a, b, c, d, e, f, g} konstruiert, indem Sie Verknüpfungen + und · zwischen diesen Elementen definiert haben, die die Körperaxiome erfüllen. Dann erhalten Sie durch geeignete Umbenennung der Elemente a, b, c, d, e, f, g in die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 den Körper 𝔽7.
Es gibt auch Körper 𝔽n, wobei n keine Primzahl ist. Dann aber ist n eine Primzahlpotenz n = pm.
Sie erhalten einen Erweiterungskörper über einem endlichen Grundkörper K als Menge L aller Polynome vom Grad < m mit Koeffizienten aus K:
L = { a0·x0 + ... + am-1·xm-1 | m ∈ ℕ, ai ∈ K }
Sie sehen sofort, dass eine auf diese Weise konstruierte Menge L genau pm Elemente enthält, wenn p die Anzahl der Elemente des Grundkörpers K ist.
Beispiel: Es ist K = ℤ5 = {0, ..., 4}, ferner m = 2. Dann besteht L aus der Menge aller Polynome vom Grad < 2 mit Koeffizienten aus K:
L = { a0 + a1·x | ai ∈ K }
So sind etwa die Polynome f = 3 + 4x und g = 2 + 3x Elemente von L.
Wie aber sind die Addition und die Multiplikation auf der Menge L definiert?
Die Addition von zwei Polynomen aus L entspricht der gewohnten Polynom-Addition, also der koeffizientenweisen Addition, jedoch modulo p, wenn ℤp der zugrundeliegende Körper K ist.
a0·x0 + ... + am-1·xm-1 + b0·x0 + ... + bm-1·xm-1 = (a0+b0)·x0 + ... + (am-1+bm-1)·xm-1
Beispiel:
Im Beispiel addieren Sie die Polynome f = 3 + 4x und g = 2 + 3x wie folgt. Weil der Körper K = ℤ5 zugrundeliegt, addieren Sie die Koeffizienten modulo 5:
f + g = 4 + 3x + 2 + 4x = 4+2 + (3+4)x = 1 + 2x
Die Multiplikation von zwei Polynomen aus L entspricht zunächst der gewohnten Polynom-Multiplikation. Dabei kann als Ergebnis jedoch ein Polynom vom Grad ≥ m herauskommen, also ein Polynom, das nicht in der Menge L liegt. Deshalb wird das Ergebnis noch modulo eines bestimmten Polynoms q vom Grad m reduziert.
Beispiel:
Um die Polynome f und g aus dem Beispiel zu multiplizieren, führen Sie zunächst die gewohnte Polynom-Multiplikation aus:
(4 + 3x) · (2 + 4x) = 8 + 16x + 6x + 12x2
Mit den Koeffizienten rechnen Sie modulo 5 und erhalten das Ergebnis
3 + 2x + 2x2
Dieses Ergebnis reduzieren Sie modulo des Polynoms q = 3 + x2:
3 + 2x + 2x2 mod (3 + x2) = 3 + 2x + 2x2 – 2·(3 + x2) = 2 + 2x
Das Polynom q ist ein festgelegtes irreduzibles Polynom vom Grad m. Es stellt sich heraus, dass die Menge L aller Polynome vom Grad < m mit der so festgelegten Addition und Multiplikation einen Körper bildet. Der Grundkörper K ist ein Teilkörper dieses Erweiterungskörpers L, bestehend aus allen Polynomen vom Grad 0.
Je nachdem, welches irreduzible Polynom q Sie bei der Multiplikation verwenden, erhalten Sie natürlich unterschiedliche Multiplikationstabellen und damit unterschiedliche Körper. Tatsächlich aber sind diese Körper alle isomorph zueinander.
Satz: Jeder endliche Körper besteht aus pm Elementen mit p Primzahl und m ∈ ℕ, und zu jedem p und jedem m lässt sich in der dargestellten Weise ein endlicher Körper konstruieren, und tatsächlich ist dieser bis auf Isomorphie der einzige Körper mit pm Elementen.
Ein endlicher Körper mit n Elementen wird mit 𝔽n bezeichnet, oder auch mit GF(n). Hierbei bedeutet GF Galois Field (nach E. Galois).
Elliptische Kurven in der Kryptografie werden über einem Körper ℤp mit p Primzahl gebildet.
Beim AES-Verschlüsselungsverfahren wird der Körper 𝔽28 zugrundegelegt.
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